ULTIMOS ARTICULOS
https://doi.org/10.60647/cgbj-q978
Palabras clave: número π, cálculo, matemáticas
Arquímedes de Siracusa, nacido aproximadamente en el año 287 a. C., es reconocido como uno de los matemáticos más destacados de la antigüedad. Hijo del astrónomo Fidias, Arquímedes probablemente recibió de su padre las primeras enseñanzas en matemáticas. Su formación se perfeccionó en Alejandría, Egipto, un importante centro de la cultura helenística, donde estudió bajo la tutela de Conón de Samos y estableció amistad con grandes matemáticos como Eratóstenes. Se sabe que dedicó dos de sus trabajos a Eratóstenes de Cirene. Aunque no se tienen muchos detalles sobre su vida personal, su obra ha dejado un legado duradero.
Arquímedes se destacó no solo en matemáticas, sino también en física e ingeniería. Entre sus logros se encuentran sus inventos mecánicos, muchos de ellos utilizados para la defensa de Siracusa durante el asedio romano en la segunda guerra púnica. Arquímedes murió alrededor del año 212 a. C., en el contexto de la captura de Siracusa por las fuerzas romanas.
La importancia de Arquímedes en la historia de la ciencia es incuestionable, y sus descubrimientos e inventos siguen siendo estudiados y admirados hasta el día de hoy. Su legado se extiende más allá de la matemática, impactando áreas como la física, la ingeniería y la tecnología1,2.
Algoritmo de π de Arquímedes
En cuanto a su contribución al cálculo del número π (pi), Arquímedes utilizó un método que consistía en inscribir y circunscribir polígonos en un círculo. Calculando el perímetro de estos polígonos, pudo aproximar el valor de π con una precisión notable para su época. Este método sentó las bases para futuros avances en la comprensión y cálculo de π.
El método de Arquímedes para calcular el número π (pi) es un algoritmo ingenioso que utiliza polígonos inscritos y circunscritos en un círculo. A continuación, se describe el proceso general de este método3-7:
Intervalo de medición de Arquímedes
Como r = 1, el perímetro corresponde a 2π el cual dividimos entre 2 con el propósito de obtener el valor de π, con fines divulgativos.
Parámetros derivados de la figura
Los parámetros son valores básicos obtenidos de identidades trigonométricas de los triángulos, a través de la figura del hexágono
α = 360/N (ángulo del polígono, N es el número de lados del polígono)
Lc (corresponde al lado del polígono externo circunscrito)
Li (corresponde al lado del polígono interno inscrito)
r (radio del círculo)
De la figura se desprenden las siguientes ecuaciones de relaciones trigonométricas, el triángulo con aristas en verde se deduce por teorema de Pitágoras para la arista Li/2, como función del seno. Por otro lado, el triángulo con aristas en color cian, del teorema de Pitágoras para Lc/2, como función tangente.
Basándonos en este algoritmo y figura, con la trigonometría y con la tecnología contemporánea obteniendo el valor de la arista inscrita del polígono con la definición de la cuerda9 del círculo, a través del ángulo α, el cual corresponde a la ecuación que define la arista Li. En el entendido que en la época de Arquímedes no se conocía este concepto9. En tiempos de Arquímedes, la medición del ángulo se obtenía con las medidas de las aristas Li/2 y el radio r, teniendo el problema de propagación de error que limitaba las mediciones, al reducir el tamaño de la arista, la precisión en esa época era de orden de centésimas.
Con la tecnología contemporánea y precisión de seis dígitos, hacemos el cálculo de los perímetros inscritos y circunscritos de los polígonos, sugerido por Arquímedes hace más de dos milenios
Partiendo del ángulo α en radianes, los radianes están ligados a π, con el equivalente a grados de la forma 2π=360. En el entendido de que hoy en día cuando hablamos de ángulos, grados y radianes están ligados a π, con una precisión muy alta, intrínseco en las calculadoras y computadoras. Todo esto no existía de esta manera, únicamente la relación de los lados de las aristas desde hace tres milenios.8
De la definición de cuerda y tangente se obtiene directamente la mediada de la arista que forma el polígono interior Li, como también la medida de la arista del polígono exterior Lc. De esta expresión tenemos la siguiente tabla
La tabla fue calculada en Matlab, con r=1, sin unidades métricas
La línea amarilla es el cálculo final de Arquímedes, en nuestro caso generado por ordenador, con seis cifras de precisión, él lo realizó con tiza, papel y con sus manos. Es muy sorprendente la deducción y precisión de su algoritmo.
El algoritmo de Arquímedes es notable no sólo por su aproximación de π, sino también por su metodología, que demuestra un uso temprano del límite y la aproximación, conceptos fundamentales en el cálculo moderno. Su enfoque influenció significativamente el desarrollo posterior de las matemáticas, en particular en el campo de la geometría y el cálculo de áreas y volúmenes. Este algoritmo fue utilizado por grandes matemáticos de la historia hasta la llegada de Newton donde se cambió el concepto geométrico por el concepto de series matemáticas3-7.
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
